Número real
En matemáticas, los números reales (
) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos.
Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante
una fracción de
dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales no periódicos,
tales como: 
) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos.
Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante
una fracción de
dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales no periódicos,
tales como:
Durante los siglos XVI y XVII el calculo avanzó mucho aunque carecía
de una base bien definida, puesto que en el momento no se consideraba necesario
el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como “pequeño”, “límite”,
“se acerca”, “casi” sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de
paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una
base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas del
concepto de número real.
- Axiomas de Adición -
A.1.- Cerradura (Interna)- La suma de dos o mas números reales es igual a un numero real.
a+b =
A.2.- Conmutativa- El orden de los sumandos no altera la suma.
a+b+c = c+a+b
A.3.- Asociativa
- La suma tendrá el mismo resultado aun siendo realizada por jerarquías.
(a+b)+c = (b+c)+a
A.4.- Elemento neutro
- El neutro aditivo es el cero (0) que al sumarlo con otro numero real, el resultado sigue siendo ese mismo numero real.
a+0 = a
A.5.- Inversos (Simétricos)
- Por un numero real cualquiera positivo, existe otro numero real negativo, de tal manera que la suma de ambos es cero o nula.
a+(-a) = 0
- El neutro aditivo (0) no tiene simétrico aditivo.
- Axiomas de Multiplicación -
M.1.- Cerradura (Interna)- El producto de números reales es un numero real.
(a)(b) =
M.2.- Conmutativa
- El orden de los factores no altera el producto.
(a)(b)(c) = (c)(a)(b)
M.3.- Asociativa
- El producto seré el mismo aun siendo realizado por jerarquías.
[(a) (b)] (c) = [(b+c)] (a)
M.4.- Elemento neutro
- El neutro multiplicativo es el uno (1), ya que todo numero real multiplicado por uno sigue siendo ese mismo numero real.
(a)(1) = a
M.5.- Inversos (Simétricos)
- Para cualquiera numero real diferente de cero (0), existe otro tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo uno (1).
(a)(1/a) = 1
- El neutro aditivo (0) no tiene recíproco multiplicativo.
- Axiomas de Relación de Orden -
O.1.- Tricotomía- Si a y b son reales, entonces solo una de las siguientes proposiciones es verdadera:
a<b ó a=b ó a>b
O.2.- Transitiva
- Si a menor que b y b menor que c, entonces a menor que c.
a<b y b<c entonces a<c
O.3.- Distributiva (de la multiplicación con respecto de la suma)
- Si un numero real se multiplica por una suma de reales, podemos multiplicarlo por cada sumando y sumar los productos.
a(b+c) = ab+ac
O.A.- Orden Aditivo
- Si a<b entonces a+c < b+c
- Si a=b entonces a+c = b+c
- Si a>b entonces a+c > b+c
O.M.- Orden Multiplicativo
- Si a < b entonces:
(a)(c) < (b)(c) Si c > 0
(a)(c) > (b)(c) Si c < 0
- Si a = b entonces:
(a)(c) = (b)(c)
- Si a > b entonces:
(a)(c) > (b)(c) Si c > 0
(a)(c) < (b)(c) Si c < 0
