martes, 6 de mayo de 2014

Axiomas de los Números Reales

Número real

En matemáticas, los números reales (\mathbb{R}) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales no periódicos, tales como: \sqrt{5}, \pi 


Durante los siglos XVI y XVII el calculo avanzó mucho aunque carecía de una base bien definida, puesto que en el momento no se consideraba necesario el formalismo de la actualidad, y se usaban expresiones como “pequeño”, “límite”, “se acerca”, “casi” sin una definición precisa. Esto llevó a una serie de paradojas y problemas lógicos que hicieron evidente la necesidad de crear una base rigurosa para la matemática, la cual consistió de definiciones formales y rigurosas del concepto de número real. 
Simbogia de los Reales

            - Axiomas de Adición -

A.1.- Cerradura (Interna)
          - La suma de dos o mas números reales es igual a un numero real.
                                                                         a+b = \mathbb{R}
A.2.- Conmutativa
          - El orden de los sumandos no altera la suma.
                                               a+b+c = c+a+b
A.3.- Asociativa
          - La suma tendrá el mismo resultado aun siendo realizada por jerarquías.
                                             (a+b)+c = (b+c)+a
A.4.- Elemento neutro
          - El neutro aditivo es el cero (0) que al sumarlo con otro numero real, el resultado sigue siendo ese mismo numero real.
                                                       a+0 = a
A.5.- Inversos (Simétricos)
          - Por un numero real cualquiera positivo, existe otro numero real negativo, de tal manera que la suma de ambos es cero o nula.
                                                       a+(-a) = 0
          - El neutro aditivo (0) no tiene simétrico aditivo.

            - Axiomas de Multiplicación -

M.1.- Cerradura (Interna)
           - El producto de números reales es un numero real.
                                                    (a)(b) = \mathbb{R}
M.2.- Conmutativa
          - El orden de los factores no altera el producto.
                                       (a)(b)(c) = (c)(a)(b)
M.3.- Asociativa
          - El producto seré el mismo aun siendo realizado por jerarquías.
                                  [(a) (b)] (c) = [(b+c)] (a)
M.4.- Elemento neutro
          - El neutro multiplicativo es el uno (1), ya que todo numero real multiplicado por uno sigue siendo ese mismo numero real.
                                                         (a)(1) = a
M.5.- Inversos (Simétricos)
          - Para cualquiera numero real diferente de cero (0), existe otro tal que el producto de ambos da como resultado el neutro multiplicativo uno (1).
                                                (a)(1/a) = 1
          - El neutro aditivo (0) no tiene recíproco multiplicativo.

- Axiomas de Relación de Orden -

O.1.- Tricotomía
          - Si a y b son reales, entonces solo una de las siguientes proposiciones es verdadera:
                                                    a<b     ó     a=b     ó     a>b
O.2.- Transitiva
          - Si a menor que b y b menor que c, entonces a menor que c.
                                                    a<b  y  b<c  entonces  a<c
O.3.- Distributiva (de la multiplicación con respecto de la suma)
          - Si un numero real se multiplica por una suma de reales, podemos multiplicarlo por cada sumando y sumar los productos.
                                                                a(b+c) = ab+ac
O.A.- Orden Aditivo
                               - Si  a<b  entonces  a+c < b+c
                               - Si  a=b  entonces  a+c = b+c
                               - Si  a>b  entonces  a+c > b+c
O.M.- Orden Multiplicativo
           - Si  a < b  entonces:
                              (a)(c) < (b)(c)                  Si  c  > 0
                              (a)(c) > (b)(c)                  Si  c  < 0
               - Si  a = b  entonces:
                                             (a)(c) = (b)(c)
           - Si  a > b  entonces:
                                             (a)(c) > (b)(c)                  Si  c  > 0
                              (a)(c) < (b)(c)                  Si  c  < 0

1 comentario:

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